Funciones trigonométricas en un Triángulo Rectángulo

Información porporcionada por Alvaro Balvin

Definición de Esfera

Una esfera es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica.

Elementos de la esfera

Centro

Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera.

Radio

Distancia del centro a un punto de la superficie de la esfera.

Cuerda

Segmento que une dos puntos de la superficie esférica.

Diámetro

Cuerda que pasa por el centro.

Polos

Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

Información proporcionada por José Merodio.

Esferas - Generalidades

Información proporcionada por: Rafael Fernandez Aristi

¿La pelota de fútbol es una esfera?

Información proporcionada por Renzo Soria

Torre de Pisa

La colocación de la primera piedra de la torre ocurrió el 9 de agosto de 1173. Esta aserción se afirma exactamente en la inscripción situada en la derecha de la puerta de entrada a el monumento. Había comenzado la construcción de uno de los monumentos más inusuales de todos, y que su historia continúa al presente como una circunstancia ficcionalizada a menudo. El edificio de la torre, y especialmente su terminación, representa el elemento pasado en el elogio del complejo celebrativo de los monumentos que enriquecen la Piazza dei Miracolo. 

Al mismo tiempo, los cuatro monumentos representativos (Catedral, Baptisterio, Campanario, Cementerio Monumental),demuestran el nivel considerable de la brillantez y la energía alcanzada por esta república marina y ellos atestiguaron a la posteridad. A través de los trabajos de la gran arquitectura religiosa de sus ciudades, la prominencia incuestionable de Pisa alcanzó desde las galeras en el mar de Tirreno a las costas de Cercano Oriente. La ausencia de escritos precisos refiere a lugares dudosos sobre quien había planeado inicialmente la torre. La tradición atribuye el trabajo a Bonanno Pisano, conjuntamente con Guillermo de Innsbruck. Pero la hipótesis reciente no se parecen a todas las anteriores, las investigaciones recientes le dan a Diotisalvi. 

Finalmente, según Vasari, Nicola Pisano merece el crédito, junto con su hijo Giovanni, ya que no habrían podido ser extranjeros. Estuvieron implicadas ciertamente en las fases subsecuentes del trabajo y en los estudios de su comportamiento estático inusual. En todo caso, para poner a un lado la identidad verdadera del diseñador, las habilidades considerables son evidentes para planear la torre de campana, el cual demostró gran capacidad técnica. Y, de hecho, debe ser reconocido que las fundaciones de la construcción se han situado en una profundidad inferior de tres metros, en un lecho de piedras secas. Como si fue planeado, el trabajo real fue parado, en 1184, quedando en la terminación del tercer nivel, cerca de diez años después del inicio de la construcción, debido a un bajo rendimiento de la tierra que había causado la inclinación inicial de la torre construida, hundiendose apreciablemente entre 30 y 40 centímetros y una inclinación inicial de cerca de 5 centímetros. Y por lo tanto, desplazada por una fundación inadecuada, un plan de reparación era ya necesario para la torre de campana, ya inclinada de Pisan. 

Según la opinión de profesor Piero Pierotti, historiador arquitectónico, los materiales de construcción con peso significativo y las características funcionales creadas para la escalera, previniendo la reducción de la albañilería hacia la cima, dejó pocas opciones para resolver la inclinación. Entonces se retomó el trabajo en 1275, un siglo después de poner la primera piedra, siendo Giovanni de Simone quien emprendió la construcción de tres pisos más. En 1284, los seis pisos de la galería fueron terminados, llevando la altura de la construcción a 48 metros. El efecto de la inclinación hacia un lado de las galerías de los pisos superiores, corrigió parcialmente la inclinación de la torre. En aquel momento la inclinación de la torre era más de 90 centímetros., una diferencia que se podría tomar como mutación atormentada de la torre, pero no apenó a esa gente que era la más afectada por su construcción y su terminación. Las fases largas de retraso durante la construcción por cualquier guerra pequeña o interrupción política, hicieron que la torre descansara, y, más importante, la torre podía estar colocada en la tierra y podía estabilizar a su inclinación famosa.

Fuente: http://www.arqhys.com/arquitectura/pisa-torre-historia.html

Mediana de un Triángulo

Mediatriz

Altura de un Triángulo

Karl Friedrich Gauss

Nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick, siendo uno de los matemáticos mas destacados de su época, contribuyendo en la geometría diferencial, geodesia (levantamiento y de la representación de la forma y de la superficie de la Tierra, global y parcial, con sus formas naturales y artificiales) y el magnetismo.

Me parece muy importante el trabajo de Karl Friedrich porque trabajo en muchas de las áreas de la matemática, aportando un gran avance con su obra “arithmeticae” que era como una especie de dedicatoria al duque Franz Ferdinand, gran amigo de Gauss, que estaba muy interesado en sus últimos trabajos.

Por ultimo, cabe resaltar que Gauss es uno de los mas grandes matemáticos del tiempo moderno considerado “el príncipe de las matemáticas”.

LEONHARD EULER

Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió en San Petersburgo.

En 1720 se matriculó en la Facultad de Filosofía y más tarde en Teología en la Universidad de Basilea alcanzando el Magíster en Filosofía en 1724.

Se presentó a la cátedra de Física pero fue rechazado por su juventud y ese mismo año recibió una mención honorífica de la Academia de Ciencias de París por su trabajo “disposición óptima de los mástiles de un barco” aunque nunca había visto navegar un barco.

En 1725 cursó Medicina, con la esperanza de obtener una plaza en San Petersburgo. Pero el mismo día de su llegada a Rusia moría la Emperatriz Catalina I fundadora junto a su esposo Pedro I el Grande de la Academia que estuvo a punto de sucumbir con los nuevos gobernantes. Ese mismo año se alistó en la marina rusa, con el grado de lugarteniente y allí aprendió los principales aspectos relativos a la estructura y funcionamiento de las naves, llegando a convertirse en una verdadera autoridad naval.  En 1730 abandonó la marina debido a que le concedieron la cátedra de Física y en 1733 la de Matemáticas que había dejado su amigo Daniel Bernuilli (amigo tutor y profesor de Euler).

De 1727 a 1741 trabajó para el gobierno ruso como director del departamento de geografía y como comisario de pesas y medidas. Así participó en el análisis cartográfico de Rusia.

Resolviendo un problema perdió la vista de su ojo derecho a los 33 años.

Fue llamado a Berlín por Federico II de Prusia, que le ofreció una cátedra en su Academia. Euler solicitó permiso al gobierno ruso para trasladarse a Berlín, y éste no sólo se lo concedió, sino que siguió pagándole sus honorarios de académico en San Petersburgo.

Se incorpora a Berlín en 1741, Federico el Grande no fuera un entendido en Matemáticas apreciaba el trabajo de Euler y le creó una serie de trabajos prácticos como acuñación de moneda, conducciones de agua, canales de navegación, nivelación del canal de Finow, la creación de Montepíos de viudedad, Instalación de juegos de agua… Su estancia en Berlín no fue feliz , perdió su otro ojo y el rey prefería los intelectuales. Aún así estuvo residiendo 25 años en la Corte de Federico el Grande.

En 1773 recobra la vista después de someterse a una operación, pero no tardará en volverla a perder y así vivió 17 años con su ceguera. Aunque ciego no dejó sus trabajos, primero empleaba una pizarra y más tarde dictaba a sus colaboradores las publicaciones.

Murió el 8 (18) de Septiembre de 1783, repentinamente, mientras fumaba y tomaba el té con su familia. Fue enterrado en San Petersburgo.

Principal Aporte a las matemáticas

La fórmula de Euler, relaciona el número de caras, vértices y aristas de cualquier poliedro convexo:

"En todo poliedro convexo se cumple que el número de caras mas el número de vértices es igual al número de aristas mas dos"

C+V=A+2

 

Otros aportes:

• Demostró que el baricentro, ortocentro y circuncentro están alineados. Recta de Euler.
• Argumentó que el infinito separaba los números positivos de los negativos de forma similar a como lo hace el cero.
• Definió las funciones logarítmicas y exponenciales.
• Desarrolló el cálculo de números complejos, demostrando que tiene infinitos logaritmos.
• Resolvió el problema de los Puentes de Konigsberg.
• Introdujo los símbolos e, f(x), el sumatoria y la letra pi para dicho número (el honor a Pitágoras ya que era la inical de su nombre).
• Clasificó las funciones y formuló el criterio para determinar sus propiedades.
• Elaboró e introdujo la integración doble.
• Descubrió el teorema de la composición de integrales elípticas.
• Dedujo la ecuación diferencial de la línea geodésica sobre una superficie. 
• Introdujo la ecuación de la expansión volumétrica de los líquidos.

Superficies de Cuerpos - Poliedros Irregulares y Cuerpos Rodantes

Para calcular la superficie de los poliedros irregulares y cuerpos rodantes, se calcula la  superficie lateral del cuerpo y a ella se suma la superficie de las bases.

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Prisma

Al desarrollar el prisma en un plano, se observa que su superficie lateral es un rectángulo en el cual:

Su base es igual al perimetro del polígono de la base

Su altura es igual a la altura del prisma

Sup. del prisma = (perim. base * h) + sup. de las 2 bases

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Pirámide

Al desarrollar la pirámide en un plano, se observa que su superficie lateral esta formada por la suma de las superficies de los triángulos:

La base de cada triángulo es igual a la longitud de cada lado del polígono de la base

Su altura es igual a la apotema lateral de la pirámide

Sup. pirámide = (perim. base * ap. lateral)/2 + sup. de la bases

                                           

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Cilindro

Al desarrollar el prisma en un plano, se observa que su superficie lateral es un rectángulo en el cual:

Su base es igual a la longuitud de la circunferencia de la base

Su altura es igual a la altura del prisma

Sup. del cilindro = (2 * 3,14 (pi) * r * h) + sup. de las 2 bases

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Cono

Al desarrollar el cono en un plano, se observa que su superficie lateral está formada por un sector circular:

El arco del sector es igual a la longuitud de la circunferencia de la base

Su altura es igual a la generatriz del cono

Sup. del cono = (3,14 (pi) * r * g) + sup. de la base

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Esfera

La superficie de la esfera no puede desarrollarse en el plano, su superficie es equivalente a la de 4 de sus circulos maximos:

Sup. de la esfera = 4 * 3,14 (pi) * r * r

Superficies de Cuerpos - Poliedros Regulares

Para calcular la superficie de los poliedros regulares, se calcula la superficie de una cara y se multiplica el resultado por la cantidad de caras que tiene el cuerpo.

Ejemplos:

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Tetraedro

Para calcular la superficie del tetraedro, se multiplica por 4 (números de caras totales) a la superficie (Area) de una cara, que son triángulos equiláteros.

Sup. triángulo = (Base*Altura) /2 ==> (4 *Base*Altura)/2 =  2*Base*Altura

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Hexaedro

Para calcular la superficie del tetaedro, se multiplica por 6 (números de caras totales) a la superficie (Area) de una cara, que son triángulos equiláteros.

Sup. triángulo = (Base*Altura)/2 ==> (6*Base*Altura)/2 =  3*Base*Altura

              

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Octaedro

Para calcular la superficie del tetaedro, se multiplica por 8 (números de caras totales) a la superficie (Area) de una cara, que son triángulos equiláteros.

Sup. triángulo = (Base*Altura)/2 ==> (8*Base*Altura)/2 =  4*Base*Altura

                  

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Dodecaedro

Para calcular la superficie del tetaedro, se multiplica por 12 (números de caras totales) a la superficie (Area) de una cara, que son triángulos equiláteros.

Sup. triángulo = (Base*Altura)/2 ==> (12* Base*Altura)/2 =  6*Base*Altura

         

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Icosaedro

Para calcular la superficie del tetaedro, se multiplica por 20 (números de caras totales) a la superficie (Area) de una cara, que son triángulos equiláteros.

Sup. triángulo = (Base*Altura)/2 ==> (20*Base*Altura)/2 =  10*Base*Altura